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图

图

一个图（Graph），是指一个三元组(V,E,I)，其中V称为顶集(Vertices Set)，E称为边集(Edges set)，E与G不相交；I称为关联函数，I将E中的每一个元素映射到G\times G。如果I(e)=(u,v) (e\in E, u,v \in V)那么称边e连接顶点u,v，而u,v则称作e的端点，u,v此时关于e相邻。同时，若两条边i,j有一个公共顶点u，则称i,j关于u相邻。

术语


- 阶（Order）：图G中顶集V的大小称作图G的阶。
- 有向图（Directed Graph）：如果给图的每条边规定一个方向，那么得到的图称为有向图。在有向图中，与一个节点相关联的边有出边和入边之分。
- 完全图（Complete Graph）：完全图是指每一对不同顶点间都有边相连的的图，n阶完全图常记作K_n。
- 二分图（Bipartite Graph）：若图G的顶集V=X\cup Y(X\cap Y=\phi)，且每一条边都有一个顶点在X中，而另一个顶点在Y中，那么这样的图称作二分图。
- 完全二分图(Complete Bipartite Graph)：二分图G中若任意两个X和Y中的顶点都有边相连，则这样的图称作完全二分图，若\left|X\right|=m,\left|Y\right|=n，则图G记作K_。
- 子图（Sub-Graph）：G'称作图G的子图如果V(G')\subseteq V(G)以及 E(G')\subseteq E(G)。
- 生成子图（Spanning Sub-Graph）：指满足条件V(G')=V(G)的G的子图G。
- 环(Loop)：若一条边的两个顶点为同一顶，则此边称作环。
- 单图（Simple Graph）：一个图如果
- #任意两顶点之间只有一条边（在有向图中為两顶点之间每個方向只有一条边）；
- #边集中不含环
- :则称为单图。
- 度（Degree）：一个顶点的度是指与该边相关联的边的条数，顶点v的度记作d(v)。显然有：\sum d(v)=2\left|E\right|
  - （In Degree）：在有向图中，一个顶点的In Degree是指与該边相关联的入边的条数。
  - （Out Degree）：在有向图中，一个顶点的Out Degree是指与該边相关联的出边的条数。
- 正则图（Regular Graph）：如果图中所有顶点的度皆相等，则此图称为正则图。
- 路径（Path）：从u到v的一条路径是指一个序列u,e_1,v_1,e_2,v_2,...e_k,v_k，其中e_i的顶点为v_i及v_，k称作路径的长。一条路径是闭(Closed)的，如果它的起止顶点相同。一条路径称为一简单路径(simple path)，如果路径中除起始与终止顶点可以重合外，所有顶点两两不等。
- 行迹（Trace）：如果路径P(u,v)中边各不相同，则该路径称为u到v的一条行迹。
- 轨道（Track）：如果路径P(u,v)中顶各不相同，则该路径称为u到v的一条轨道。
- 闭的行迹称作回路（circuit），闭的轨称作圈（Cycle）。

图的存储表示


- 数组（邻接矩阵）存储表示（有向或无向）
- 邻接表存储表示
- 有向图的十字链表存储表示
- 无向图的邻接多重表存储表示 一个不带权图中若两点不相邻，邻接矩阵相应位置为0，对带权图(网)，相应位置为∞。一个图的邻接矩阵表示是唯一的，但其邻接表表示不唯一。在邻接表中，对图中每个顶点建立一个单链表（并按建立的次序编号），第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边（对于有向图是以顶点vi为尾的弧）。每个结点由两个域组成：邻接点域(adjvex)，用以指示与vi邻接的点在图中的位置，链域(nextarc)用以指向依附于顶点vi的下一条边所对应的结点。如果用邻接表存放网（带权图）的信息，则还需要在结点中增加一个存放权值的域（info）。每个顶点的单链表中结点的个数即为该顶点的出度(与该顶点连接的边的总数)。无论是存储图或网，都需要在每个单链表前设一表头结点，这些表头结点的第一个域data用于存放结点vi的编号i，第二个域firstarc用于指向链表中第一个结点。

图的遍历

图的遍历方法有深度优先搜索法(Depth_First Search, DFS)和广度(宽度)优先搜索法(Breadth_First Search, BFS)。 深度优先搜索法是树的先根遍历的推广，它的基本思想是：从图G的某个顶点v0出发，访问v0，然后选择一个与v0相邻且没被访问过的顶点vi访问，再从vi出发选择一个与vi相邻且未被访问的顶点vj进行访问，依次继续。如果当前被访问过的顶点的所有邻接顶点都已被访问，则退回到已被访问的顶点序列中最后一个拥有未被访问的相邻顶点的顶点w，从w出发按同样的方法向前遍历，直到图中所有顶点都被访问。其递归算法如下： 
Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM];	//访问标志数组
Status (
 - VisitFunc)(int v);	//VisitFunc是访问函数，对图的每个顶点调用该函数
void DFSTraverse (Graph G, Status(
 - Visit)(int v))
void DFS(Graph G, int v)
图的广度优先搜索是树的按层次遍历的推广，它的基本思想是：首先访问初始点vi，并将其标记为已访问过，接着访问vi的所有未被访问过的邻接点vi1,vi2, …, vi t，并均标记已访问过，然后再按照vi1,vi2, …, vi t的次序，访问每一个顶点的所有未被访问过的邻接点，并均标记为已访问过，依次类推，直到图中所有和初始点vi有路径相通的顶点都被访问过为止。其非递归算法如下： 
Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM];	//访问标志数组
Status (
 - VisitFunc)(int v);	//VisitFunc是访问函数，对图的每个顶点调用该函数
void BFSTraverse (Graph G, Status(
 - Visit)(int v))

其他重要的图


- 树
- 平面图
- 连通图
  - 强连通图
- 有向无环图
  - AOV网
  - AOE网

参阅


- 图论
- 邻接矩阵 Category:图论 category:数据结构 th:กราฟ (คณิตศาสตร์)

邻接矩阵

邻接矩阵是表示一个图的常用存储表示。它用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素之间的关系（边或弧）的信息。

定义

根据图的种类，邻接矩阵可能有多种定义的方法：

无向图

有向图

存储表示

存储结构

/
- 图的数组(邻接矩阵)存储表示
- / #define INFINITY INT_MAX /
- 用整型最大值代替∞
- / #define MAX_VERTEX_NUM 26 /
- 最大顶点个数
- / typedef enumGraphKind; /
-
- / typedef struct ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; /
- 二维数组
- / typedef struct MGraph;

基本操作

/
- 图的数组(邻接矩阵)存储(的基本操作(21个)
- / int LocateVex(MGraph G,VertexType u) void CreateFUDG(MGraph
- G) void CreateFUDN(MGraph
- G) void CreateDG(MGraph
- G) void CreateDN(MGraph
- G) 
 void CreateUDG(MGraph 
 - G)
void CreateUDN(MGraph
- G) void CreateGraph(MGraph
- G) void DestroyGraph(MGraph
- G) VertexType
- GetVex(MGraph G,int v) Status PutVex(MGraph
- G,VertexType v,VertexType value) int FirstAdjVex(MGraph G,VertexType v) int NextAdjVex(MGraph G,VertexType v,VertexType w) void InsertVex(MGraph
- G,VertexType v) Status DeleteVex(MGraph
- G,VertexType v) Status InsertArc(MGraph
- G,VertexType v,VertexType w) Status DeleteArc(MGraph
- G,VertexType v,VertexType w) Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM]; /
- 访问标志数组(全局量)
- / void(
- VisitFunc)(VertexType); /
- 函数变量
- / void DFS(MGraph G,int v) void DFSTraverse(MGraph G,void(
- Visit)(VertexType)) typedef VRType QElemType; /
- 队列元素类型
- / #include"c3-2.h" /
- 链队列的结构，BFSTraverse()用
- / #include"bo3-2.c" /
- 链队列的基本操作，BFSTraverse()用
- / void BFSTraverse(MGraph G,void(
- Visit)(VertexType)) void Display(MGraph G) Category:图论 category:数据结构

邻接表

邻接表是图的一种链式存储结构。它对图中每个顶点建立一个单链表，表示该顶点与其它哪些顶点有一条边。 在邻接表中，很容易找到某个顶点的相邻顶点，但在判断两个顶点是否相连时，需要在链表上进行查找。 /
- 图的邻接表存储表示
- / #define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef enumGraphKind; /
-
- / typedef struct ArcNode ArcNode; /
- 表结点
- / typedef struct VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; /
- 头结点
- / typedef struct ALGraph; /
- 图的邻接表存储的基本操作(15个)
- / #include"bo2-8.c" /
- 不带头结点的单链表基本操作
- / #include"func2-1.c" /
- 不带头结点的单链表扩展操作
- / int LocateVex(ALGraph G,VertexType u) void CreateGraph(ALGraph
- G) void CreateGraphF(ALGraph
- G) 
 void DestroyGraph(ALGraph 
 - G)
VertexType
- GetVex(ALGraph G,int v) Status PutVex(ALGraph
- G,VertexType v,VertexType value) int FirstAdjVex(ALGraph G,VertexType v) Status equalvex(ElemType a,ElemType b) int NextAdjVex(ALGraph G,VertexType v,VertexType w) void InsertVex(ALGraph
- G,VertexType v) Status DeleteVex(ALGraph
- G,VertexType v) Status InsertArc(ALGraph
- G,VertexType v,VertexType w) Status DeleteArc(ALGraph
- G,VertexType v,VertexType w) Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM]; /
- 访问标志数组(全局量)
- / void(
- VisitFunc)(char
- v); /
- 函数变量(全局量)
- / void DFS(ALGraph G,int v) void DFSTraverse(ALGraph G,void(
- Visit)(char
- )) typedef int QElemType; /
- 队列元素类型
- / #include"c3-2.h" /
- 链队列的存储结构
- / #include"bo3-2.c" /
- 链队列的基本操作
- / void BFSTraverse(ALGraph G,void(
- Visit)(char
- )) void DFS1(ALGraph G,int v,void(
- Visit)(char
- )) void DFSTraverse1(ALGraph G,void(
- Visit)(char
- )) void BFSTraverse1(ALGraph G,void(
- Visit)(char
- )) 
 void Display(ALGraph G)
Category:图论 category:数据结构

有向图

图#术语

AOV网

所有的工程或者某种流程可以分为若干个小的工程或阶段，这些小的工程或阶段就称为活动。若以图中的顶点来表示活动，有向边表示活动之间的优先关系，则这样活动在顶点上的有向图称为AOV网。在AOV网中，若从顶点i到顶点j之间存在一条有向路径，称顶点i是顶点j的前驱，或者称顶点j是顶点i 的后继。若是图中的弧，则称顶点i是顶点j的直接前驱，顶点j是顶点i的直接后继。AOV网中的弧表示了活动之间存在的制约关系。 在AOV网络中不能出现有向回路，即有向环。如果出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。因此，对给定的AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。检测有向环的一种方法是对AOV网络构造它的拓扑有序序列。即将各个顶点 (代表各个活动)排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算就叫做拓扑排序。如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中, 则该网络中必定不会出现有向环。 拓扑排序的算法：(1)在有向图中选一个没有前驱(入度为0)的顶点且输出之。(2)从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。重复上述两步，直到全部顶点均已输出(最后得拓扑排序序列)，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中存在环。在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为O(n＋e)。 category:数据结构

图论

图论是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究节点和边组成的图形的数学理论和方法。 图论中的图是由若干给定的点及连接两点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的边表示相应两个事物间具有这种关系。 图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。 图论的研究对象相当于一维的拓扑学。

历史

图论问题


- 图的着色：
  - 边着色
  - 顶着色
  - 面着色
    - 四色定理
- 匹配问题
- 平面图
- 路径问题：
  - 柯尼斯堡七桥问题
  - 最小生成树
  - 最短路径
  - 遍历
- 连通性问题
- 网络流
  - 最大流
  - 最小费用最大流
  - 容量有上下界的最大流
  - 容量有上下界的最小费用最大流
- 独立集和团
  - 拉姆齐定理
- 拟阵

重要的算法


- 戴克斯特拉算法
- 克鲁斯卡尔算法
- 普里姆算法

参见


- 组合数学 Category:离散数学 Category:图论 ja:グラフ理論 ko:그래프 이론 simple:Graph theory th:ทฤษฎีกราฟ

Category:图论

Category:离散数学 图论是离散数学的一个分支，它以图为研究对象，研究节点和边组成的图形的数学理论和方法。 ja:Category:グラフ理論 ko:분류:그래프 이론 th:Category:ทฤษฎีกราฟ

Scheich Mujibur Rahman

Scheich Mujibur Rahman (bengali: শেখ মুজিবুর রহমান, Śekh Mujibur Rahmān, Shekh Mujibur Rahman;
- 17. März 1920 in Gopalganj; † 15. August 1975) ist der Gründer von Bangladesch. 1949 rief er die Awami-Liga ins Leben, die sich für Autonomie und Unabhängigkeit Ostpakistans einsetzte. Bis 1965 blieb er deren Vorsitzender. Februar 1966 ein Sechs-Punkte-Programm vor, eine Föderation auf Basis der Lahore Resolution von 1940 zu errichten. Die Zentralregierung betrachtete das Programm als Plan zur Teilung Pakistans. Mujibur wurde 1968 verhaftet, angeklagt und freigesprochen. Die Anklage löste im Dezember 1968 gewalttätige Unruhen in Ostpakistan aus. 1972 wurde er Premierminister. Seine diktatorische Herrschaft führte zum internen Aufstand und einem Militärputsch, durch den er am 15. August 1975 gestürzt wurde. Er und seine Familie wurde durch Schüsse seiner Leibwache getötet. Rahman, Mujibur Rahman, Mujibur Rahman, Mujibur Rahman, Mujibur ja:ムジブル・ラフマン

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